Persamaan differensial matangnya Ayam panggang

Barusan ibukuu meletakkan ayam kodok yang baru saja dikeluarkan dari oven, di atas meja. Suhu ayam kodok tersebut pada saat dikeluarkan dari oven sekitar 200 derajat celsius. Kemudian dia berpesan, "Nak, nanti kalau sudah mencapai suhu ruang, tolong masukkan ayam kodok ini ke kulkas!"

Waduh, suhu ruang saat ini sekitar 27 derajat celsius! Berapa waktu yang dibutuhkan bagi ayam kodok untuk mencapai suhu 27 derajat Celsius??? Sepuluh menit berlalu dan sambil berfikir saya ambil thermometer untuk mengukur suhu ayam kodok sekarang, ternyata sudah turun menjadi 140 derajat Celcius! Wah cepet juga. 

Menantang, pakai rumus apa yah? Instinct saya mengatakan ini adalah permasalahan yang harus diselesaikan dengan differential equation ordo satu! Laju penurunan suhu mungkin tidak linear melainkan   exponentially decaying terhadap waktu. Dan suhu kamar akan menjadi terminal temperature (suhu yg dicapai pada saat t mendekati tak hingga) Haduh, malem-malem tambah kerjaan nih cari rumus.

Tapi kebetulan karena kemaren ada yang bertanya, "Apa aplikasi persamaan differential dalam kehidupan sehari-hari". Bentar yah, buka buku dulu. Maklum udah lama gak ngurusin yg begini. Besok aja deh, sudah malam!

Oke, kita lanjutkan.

Seperti yang kita bisa duga, turunnya temperature ayam kodok tidak linear! Kecepatan penurunan suhu/temperaturenya tergantung selisih suhu ayam kodok dengan suhu ruang. Makin tinggi selisihnya, makin cepat laju penurunannya. Oleh karena itu pada awalnya suhu ayam kodok turun begitu cepat dari 200 derajat menuju 140 derajat hanya dalam 10 menit. Tetapi, makin mendekati suhu ruang, maka selisih suhunya menjadi lebih kecil dan laju penurunannya makin berkurang.

Dalam matematika hal ini bisa dituliskan dalam persamaan differential sbb:

∂T∂t=k(T−To)$$\frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }t}=k(T-T_o)$$

di mana To$T_o$ adalah suhu ruang, yaitu 27 C. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan pemisahan sebagai berikut

∂T∂t=k(T−27)∂T(T−27)=k∂t$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }t}=k(T-27) \\ \frac{\mathrm{\partial }T}{(T-27)}=k\mathrm{\partial }t \end{gathered}$$

Dengan mengintegralkan, maka diperoleh

ln(T−27)=kt+c$$ln(T-27)=kt+c$$

dengan memasukan t = 0, T = 200 C, maka kita mendapatkan c = ln(200−27)$ln(200-27)$ = 5.15

dan pada t = 10 menit, T = 140, maka kita mendapatkan ln(140−27)=10k+c$ln(140-27)=10k+c$ dengan memasukkan nilai c di atas maka diperoleh k = -0.04

Sehingga persamaan kita mejadi

Ln(T−27)=kt+c$$Ln(T-27)=kt+c$$

Atau bisa kita tulis kan :

T(t)=27+e−0.04t+5.15$$T(t)=27+e^{-0.04t+5.15}$$

Dari persamaan itu jelas bahwa suhu 27 derajat celsius akan dicapai pada saat limit t mendekati tak hingga!

Waduh gimana ini, mosok harus menunggu waktu hingga tak hingga untuk mencapai suhu 27 derajat Celsius?

Hmm.. mungkin kita tidak harus saklek sampai 27 derajat kalee yah? Cukup mendekati 27 derajat saya fikir tidak apa-apa. Kalau gitu kita gambar grafiknya kemudian kita cari titik t yang mendekati 27 derajat.

Seperti ditunjukkan dalam gambar, pada t = 120 menit, maka suhu ayam kodok akan menjadi sekitar 28,4 derajat celsius. Cukuplah, 2 jam saja menunggu sampai suhu ayam kodok menjadi 28,4 derajat, siap masuk kulkas.

Penerapan rumus di atas tentu saja bukan cuma untuk ayam kodok, tetapi semua yang berkaitan dengan penurunan panas, termasuk cake! Syaratnya, ukur suhu awal ketika keluar oven. Kemudian ukur lagi 5 atau 10 menit kemudian. Baru deh bisa kita tentukan waktunya!

Silahkan mencoba 

Referensi : 

http://www.rustamaji.net/id/matematika/penerapan-persamaan-diferensial-dlm-kehidupan-sehari-hari