APLIKASI DIFFERENSIAL DALAM PENYELESAIAN MODEL MATEMATIKAPENELUSURAN BANJIR GELOMBANG DIFUSI (DIFFUSION WAVE FLOOD ROUTING)

Banjir adalah keadaan dimana debit air yang masuk ke saluran melebihi batas kapasitas sehingga akan menimbulkan luapan air yang melebihi batas normal. Luapan air yang melebihi batas normal dapat menimbulkan kerusakan/kerugian seperti kehilangan harta benda dan jiwa seseorang. Oleh karena itu, perlu adanya peringatan dini untuk meminimalisir kerugian.

Penelusuran banjir merupakan metode yang paling tepat dan mudah untuk memberikan peringatan dini dalam prakiraan terjadinya banjir. Peringatan dini dalam pengendalian bencana banjir merupakan sistem yang memberikan peringatan waktu kejadian aliran debit air yang melebihi batas normal untuk penyelamatan harta benda dan jiwa seseorang. Prakiraan banjir dapat ditentukan tingkat akurasinya dengan melihat curah hujan, luas daerah pengaliran sungai, serta parameter kalibrasi banjir yang pernah terjadi.

Menurut Siing (2011), model penelusuran banjir gelombang difusi menunjukkan bahwa kemiringan dasar saluran dan kecepatan rata-rata aliran berpengaruh terhadap perilaku aliran gelombang banjir. Pendekatan dalam model penelusuran banjir antara lain: pendekatan model gelombang difusi, model gelombang kinematik dan model gelombang dinamik atau yang dikenal sebagai pendekatan persamaan Saint-Venant yang lengkap.

Salah satu cara untuk mengetahui perilaku banjir adalah dengan cara menganalisis solusi model penelusuran banjir dengan menggunakan model numerik. Banyak peneliti yang sudah mengembangkan dan menganalisis model penulusuran banjir untuk mengetahui prakiraan terjadinya banjir. Gosiorowski dan Szymkiewicz (2007) menganalisis bentuk konservatif persamaan massa dan momentum model penelusuran banjir. Novak, et al (2010) membangun model matematika penelusuran banjir gelombang difusi bentuk konservatif. Siing (2011) membangun model matematika penelusuran banjir gelombang difusi bentuk nonkonservatif serta menganalisisnya dengan menggunakan metode volume hingga. Chagas, et al. (2010) menganalisis model matematika gelombang banjir dengan menggunakan metode beda hingga, algoritma penyelesaian sistem persamaan aljabar non-linearnya dengan iterasi Newton-Raphson.

Model penelusuran banjir gelombang difusi (diffusion wave flood routing) didasarkan pada persamaan differensial parsial yang memungkinkan untuk menghitung debit aliran dan kedalaman air sebagai fungsi dari ruang dan waktu. Pada makalah ini, ditunjukkan persamaan pembangun model matematika penelusuran banjir dengan pendekatan model gelombang difusi serta penyelesaian numeriknya menggunakan metode volume hingga (Metode Volume Hingga ). Teknik diskretisasi yang digunakan adalah teknik diskritisasi Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics (QUICK) kemudian dilakukan simulasi dengan bantuan Program Matlab. Penyelesaian numerik dengan teknik diskritisasi QUICK merupakan penyelesaian yang stabil dan akurat, dengan tingkat akurasinya sampai orde ketiga. Simulasi terhadap parameter-parameter yang berpengaruh terhadap penelusuran banjir diperoleh hasil bahwa ketinggian muka air dipengaruhi oleh perubahan kecepatan dan dapat disimpulkan bahwa semakin besar kecepatan aliran rata-rata maka semakin kecil ketinggian muka air yang dihasilkan.

Pada suatu aliran saluran terbuka/sungai ada beberapa model yang umum digunakan untuk menggambarkan aliran saluran tersebut seperti: model Saint Venant, model Shallow Water. Pola aliran banjir pada saluran terbuka dapat didekati dengan persamaan differensial parsial yang diturunkan dari persamaan Saint Venant. Model hidrolika ini didasarkan pada dua bentuk persamaan yaitu persamaan konservasi massa dan persamaan konservasi momentum (Chow, 1988).

Ada beberapa pendekatan dalam model penelusuran banjir antara lain: pendekatan model gelombang difusi, model gelombang kinematik dan model gelombang dinamik atau yang dikenal sebagai pendekatan persamaan Saint Venant yang lengkap. Tujuan dari penulisan ini adalah menentukan penyelesaian model penelusuran banjir dengan pendekatan gelombang difusi menggunakan metode volume hingga dengan teknik diskritisasi QUICK. Telah banyak penelitian yang dilakukan oleh para ahli mengenai model penelusuran banjir seperti Gosiorowski, D., Szymkiewicz, R., (2007) dalam penelitiannya membahas analisis bentuk konservatif persamaan massa dan momentum model penelusuran banjir (flood routing). Chagas, P.F., et.all. (2010) mengkaji tentang model matematika gelombang banjir pada saluran alam dengan menggunakan metode beda hingga, algoritma penyelesaian system persamaan aljabar nonlinearnya dengan iterasi Newton Raphson dan simulasinya dilakukan dengan program QUARIGUA (Riks Quantitative Analysis of Flooding in Urban Rivers). Tapi dalam penelitian-penelitian tersebut jarang ada yang menyelesaikan dengan menggunakan metode volume hingga. Oleh karena itu, dalam paper ini dikaji model matematika penelusuran banjir (flood routing) dengan pendekatan model gelombang difusi terhadap persamaan pembangun bentuk nonkonservatif dan menentukan penyelesaian numeriknya menggunakan Metode Volume Hingga dengan teknik diskritisasi QUICK kemudian disimulasikan dengan bantuan progam Matlab.

Penelusuran banjir (flood routing) bisa ditafsirkan sebagai suatu prosedur matematika untuk menentukan/memperkirakan waktu dan besaran aliran banjir disuatu titik berdasarkan data yang diamati pada satu atau beberapa titik dibagian hulu. Dalam praktek terdapat dua macam penelusuan yaitu distribusi flood routing yang biasa dikenal sebagai hirolika routing dan lumped flood routing yang biasa dikenal sebagai hidrologi routing. Perbedaannya adalah bahwa model lumped flood routing, aliran dihitung hanya sebagai fungsi terhadap waktu saja, sedangkan model distribusi flood routing merupakan fungsi terhadap ruang dan waktu. Model distribusi flood routing memungkinkan untuk menghitung debit aliran dan kedalaman sehingga model ini lebih mendekati pada kondisi nyata aliran tidak tunak dari luapan banjir pada suatu saluran (Chow, 1988). Menurut Linsley JR, R.K et.al. (1982) Penelusuran banjir (flood routing) secara hidrolika bersandar pada tiga asumsi yakni : kerapatan airnya konstan, panjang sungai yang dipengaruhi oleh gelombang banjir lebih besar daripada kedalaman airnya, alirannya secara hakiki berdimensi satu. Gelombang banjir yang memenuhi asumsi ini disebut gelombang air dangkal (shallow water wave). Karena percepatan vertikal aliran diabaikan maka distribusi tekanan pada gelombang tersebut adalah hidrostatik.

Persamaan matematika untuk permasalahan penelusuran banjir dibangun berdasarkan fenomena-fenomena alam yang memenuhi hukum fisika yang sesuai dengan permasalahan pada penelitian ini. Model matematika dari permasalahan ini memenuhi hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum yang dibangun berdasarkan oleh persamaan skalar transfort. Menurut Aspley (2007) persamaan transfort ini dirumuskan sebagai berikut:

Rate of change +net outward flux = source

atau dapat ditulis sebagai berikut:

d	( ρ V φ ) + ∑	ρ u n	Aφ −	∂φ	A	= SV
dt
	faces			∂n

dengan:

φ              = konsentrasi

φ              = difusivitas

A             = luas volume kendali (m²)

SV     = gaya-gaya yang bekerja dalam system

V       = volume air

Dari hasil simulasi model penelusuran banjir gelombang difusi menunjukkan bahwa kemiringan dasar saluran dan kecepatan rata-rata aliran berpengaruh terhadap perilaku aliran gelombang banjir dengan kesimpulan:

a.       Semakin besar kecepatan aliran rata-rata pada saluran/sungai maka semakin kecil ketinggian muka air yang dihasilkan sepanjang ruas saluran/sungai dan semakin kecil kecepatan aliran rata-rata pada saluran/sungai maka semakin besar ketinggian muka air.

b.      Semakin besar kemiringan dasar saluran maka semakin besar ketinggian muka air yang dihasilkan sepanjang ruas saluran/sungai dan semakin kecil kemiringan dasar saluran maka semakin kecil ketinggian muka air.