Penerapan Persamaan Diferensial Terhadap Diabetes Mellitus Tipe 1

Penerapan Persamaan Diferensial Terhadap Diabetes Mellitus Tipe 1
Aji Nachlan
1415105006
IAIN Syekh Nurjati Cirebon
Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kejadian yang mungkin dalam pikirian seseorang tidak bisa dikaitkan dengan cabang ilmu matematika. Maka dari itu jangan pernah merasa takut pada materi matematika, karena sesungguhnya semua ilmu itu tidak membebankan seseorang, jikalau kita benar-benar ingin mempelajarinya.
Kenapa sih penerapan diferensial bisa dikaitkan dengan penyakit yang mungkin bisa menyebabkan seseorang bisa menghumbaskan nafas terakhirnya, karena setiap turunan dari penyakit yang kemudian sampai menderita penyakit diabetes mellitus.
Glukosa merupakan sumber energi untuk semua organ dan jaringan. Setiap individu memiliki konsentrasi glukosa darah yang optimal, apabila konsentrasinya tidak optimal akan menyebabkan kondisi patologis yang serius. Konsentrasi glukosa darah dipengaruhi dan dikendalikan oleh berbagai jenis hormon, diantaranya faktor dominan adalah hormon insulin. Hormon insulin disekresi oleh pankreas. Setelah karbohidrat yang masuk ke dalam tubuh akan berakibat pada pankreas untuk mensekresikan insulin dalam jumlah yang banyak. Glukosa dalam aliran darah juga secara langsung merangsang pankreas untuk mensekresikan insulin. Insulin kembali memfasilitasi penyerapan jaringan glukosa dengan melekatkan insulin itu sendiri ke dinding membran secara impermeabel, dan membuka pintu untuk glukosa untuk melewati mebran ke pusat sel, dimana glukosa dikonsumsi. Kekurangan glukosa dalam sel otak akan berakibat pada kerusakan fungsi sel otak tersebut.
Ambil G(t) dan H(t) adalah konsentrasi / kadar glukosa dalam darah dan kadar hormon insulin apada waktu t dan memenuhi
G’(t) = 𝑑𝐺/𝑑𝑡 = 𝑓1 (𝐺, 𝐻) + 𝐽(𝑡) (1)
H’(t) = 𝑑𝐻/𝑑𝑡 = 𝑓2 (𝐺, 𝐻) (2)
dengan kondisi awal G> 0, H> 0, G(0) = G0, H(0) = H
Dimana, J(t) adalah laju eksternal akibat kenaikan glukosa dalam darah, f1 dan f2adalah fungsi untuk perubahan G dan H.
Perilaku dari sistem persamaan diferensial non linear (1) dan (2) di sekitar titik kesetimbangan (G0,H0) dapat diketahui dengan melinearisasikan sistem non linear tersebut. Jenis kestabilan dari titik kesetimbangan tersebut ditentukan berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian dari sistem yang sudah berbentuk linear. Salah satu metode linearisasi adalah ekspansi deret Taylor di sekitar titik kesetimbangan dan diberi asumsi bahwa tubuh ingin mempertahankan homeostatis untuk konsentrasi glukosa dalam darah. Asumsi homeostatis berarti mempertimbangkan adanya gangguan lokal dari sistem dinamik yang jauh dari titik kesetimbangan.Dengan demikian dibuat variabel gangguan.
Ambil g = G – G0dan h = H – H0
Dengan demikian model yang terbentuk setelah dilinearisasikan adalah
𝑑𝑔/𝑑𝑡 = 𝜕𝑓1/𝜕𝐺 (𝐺0,𝐻0) 𝑔 + 𝜕𝑓1/𝜕𝐻 (𝐺0,𝐻0) h + 𝐽(𝑡) (3)
𝑑h/𝑑𝑡 = 𝜕𝑓2/𝜕𝐺 (𝐺0,𝐻0) 𝑔 + 𝜕𝑓2/𝜕𝐻 (𝐺0,𝐻0) h (4)
Selanjutnya menetapkan tanda untuk setiap konstanta yaitu (𝜕𝑓1/𝜕𝐺 (𝐺0,𝐻0) , 𝜕𝑓1/𝜕𝐻 (𝐺0,𝐻0) , 𝜕𝑓2/𝜕𝐻 (𝐺0,𝐻0) bernilai negatif dan 𝜕𝑓2/𝜕𝐺 (𝐺0,𝐻0) bernilai positif).
Sistem persamaan diferensial linear orde satu yang dapat dituliskan sebagai berikut
𝑑𝑔/𝑑𝑡 = −𝑎𝑔 − 𝑏h + (𝑡)
𝑑h/𝑑𝑡 = −𝑐h + 𝑑𝑔 (5)
dan harus dipenuhi bahwa a > 0, b > 0, c > 0, dan d > 0
Untuk penyelesaian secara analitik dari persamaan (5)dengan J(t)=0 dan karena hanya kadar/konsentrasi glukosa dalam darah saja yang akan dihitung, maka variabel kadar/konsentrasi hormon insulin h dihapus. Hal ini dapat ditunjukkan dengan mengeliminasi h dan 𝑑h/𝑑𝑡 dari persamaan (5) sehingga diperoleh
𝑑2𝑔/𝑑𝑡2 + (𝑎 + 𝑐) 𝑑𝑔/𝑑𝑡 +(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) 𝑔 = 𝑑𝐽(𝑡)/𝑑𝑡 + 𝑐𝐽(𝑡) (6)
Ambil α = (a + c) / 2
𝜔0 2 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑆(𝑡)= 𝑑𝐽(𝑡)/𝑑(𝑡) + 𝑐𝐽(𝑡)
Maka persamaan (6) menjadi
𝑑2𝑔/𝑑𝑡 2 + 2α 𝑑𝑔/𝑑𝑡 + 𝜔0 2𝑔 = 𝑆(𝑡)
Mengingat ruas kanan ternyata relatif kecil sekali, karena J(t) hanya timbul sebentar saat makanan masuk sehingga S(t) = 0 untuk semua t. Oleh karena itu persamaan menjadi bersifat homogen dengan menetapkan t0menjadi waktu bahwa glukosa telah sepenuhnya tertelan. dengan transformasi yang telah terjadi maka persamaan model menjadi
𝑑2𝑔/𝑑𝑡2 + 2α 𝑑𝑔/𝑑𝑡 + 𝜔02𝑔 = 0 (7)
Dari persamaan model (7) dengan persamaan karakteristik 𝑚2 + 2𝛼𝑚 + 𝜔0 2 = 0
Diperoleh solusi umum
𝑔 (𝑡)= 𝑒 −𝛼𝑡 𝐴1𝑒 −𝛾𝑡 + 𝐴2𝑒 𝛾𝑡 jika 𝛼 2 − 𝜔0 2 > 0(𝑜𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑚𝑝𝑒𝑑 𝑐𝑎𝑠𝑒) 𝑒 −𝛼𝑡 𝐴1 + 𝑡𝐴2 jika 𝛼 2 − 𝜔0 2 = 0(𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑙𝑦 𝑑𝑎𝑚𝑝𝑒𝑑 𝑐𝑎𝑠𝑒) 𝑒 −𝛼𝑡 𝐷 cos 𝛽𝑡 − 𝛿 jika 𝛼 2 − 𝜔0 2 < 0(𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑑𝑎𝑚𝑝𝑒𝑑 𝑐𝑎𝑠𝑒)
Dalam fisika, model yang sesuai adalah model Underdamped Case. Penderita diabetes khususnya akan mengalami kadar glukosa darah yang berubah-ubah, kadang kadar glukosa darah akan meningkat dan menurun jauh dari tingkat optimal. Dalam kata lain, g(t) kadar glukosa dalam darah akan berubah-ubah sewaktu-waktu sebelum titik kesetimbangan dicapai. Sedangkan pada Overdamped Case dan Critically Damped Case, g(t) hanya mengalami perubahan hanya sekali saja dan cepat mencapai titik kesetimbangan, dan tidak sesuai dengan fakta.
Berdasarkan pertimbangan tersebut, maka dipilih solusi respon Underdamped Case sebagai langkah yang tepat untuk mendeteksi penyakit diabetes mellitus tipe 1 dengan solusi g(t) = 𝑒 −𝛼𝑡 𝐷 cos 𝛽𝑡 − 𝛿 (G0, H0) adalah stabil asimtotik jika (G0, H0) stabil dan terdapat 𝛿0demikian sehingga setiap penyelesaian (g(t),h(t)) dari persamaan (1) dan (2) memenuhi bahwa 𝐺 0 − 𝐺0 2 + 𝐻 0 − 𝐻0 2 < 𝛿0ada dan memenuhi lim 𝑡→∞ 𝑔 𝑡 = 𝐺0 Dari solusi yang diperoleh g(t) = 𝑒 −𝛼𝑡 𝐷 cos𝛽𝑡 − 𝛿 , kemudian diubah koordinatnya kembali ke posisi awal atau kembali pada laju konsentrasi glukosa yang sebenarnya berubah menjadiG(t)=𝐺0 + 𝑒 −𝛼𝑡 𝐷 cos𝛽𝑡 − 𝛿 . Dimana 𝐺0adalah konsentrasi glukosa darah pasien sebelum glukosa yang ditelan dicerna, berarti kadar glukosa setimbang. Hal ini ditentukan dengan mengukur konsentrasi gula darah pasien segera setelah tiba dirumah sakit. Setelah itu, pasien diberikan sejumlah glukosa untuk diambil jumlah kadar glukosa darahnya setelah empat jam penambahan glukosa g1, g2, g3, g4, dan konsentrasi gula darah pada waktu t1, t2, t3, t4. Pengukuran ini akan digunakan untuk menghitung parameter D, 𝛼, 𝛿, 𝛽. 𝛼adalah mengukur kemampuan sistem untuk kembali ke titik setimbang setelah adanya gangguan (dengan pelepasan glukagon ke dalam darah ). 𝛽adalah mengukur berapa banyaknya respon terhadap gangguan (pelepasan insulin untuk menurunkan kadar glukosa dalam darah), dimana 𝛽 = (𝛼 2 − 𝜔0 2). Mengukur 𝛼 harus menjadi ukuran utama apakah seseorang itu adalah pasien diabetes, karena orang yang menderita diabetes tidak dapat kembali dalam kondisi setimbang atau normal dengan cepat.𝛿adalah konstanta yang mewakili dosis besar kadar glukosa yang diberikan di awal proses GTT setelah subjek telah berpuasa. G(tj) = 𝐺0 + 𝑒 −𝛼𝑡𝑗 𝐷 cos 𝛽𝑡𝑗 − 𝛿 j = 1, 2, 3, 4. Karena fungsi berosilasi dengan amplitudo yang menurun secara eksponensial. Pada menunjukkan bahwa grafik tidak periodik tetapi grafik tersebut melewati titik setimbang g = 0. Jika periode dipertimbangkan maka T sebagai waktu yang dibutuhkan untuk satu siklus lengkap sehingga perioda natural osilasi dibentuk dari 𝜔0 2𝑇 = 2 𝜋 dan 𝑇 = 2𝜋 𝜔0 2 , mengingat 𝜔0 2 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 maka 𝑇 = 2𝜋 𝑎𝑐+𝑏𝑑 Maka waktu perioda natural osilasi pada individu normal yaitu 𝑇 = 2𝜋 2.92 𝑥 0.208 + (4.34 𝑥 0.780) = 2𝜋 3.3852 = 2𝜋 1.8399130 = 3.41493 Karena perioda natural osilasinya kurang dari 4 jam, maka individu dapat dinyatakan normal. Waktu 4 jam adalah waktu dimana konsentrasi glukosa kembali normal setelah dilakukannya proses pemeriksaan Glucose Tolerance Test (GTT) begitu pasien tiba dirumah sakit. Kesimpulannya bahwa setiap penyakit yang masih dikatakan ringan jangan dianggap remeh, karena ketika menggap mudah akan menyebabkan penyakit-penyakit yang lain dan menimbulkan bahaya untuk sendiri. Dan jangan pernah takut untuk belajar matematika, karena matematika itu ilmu yang penuh dengan realitas.
Mencobalah untuk 'Membumikan Matematika'(Budi Manfaat)
Semoga bermanfaat.
Referensi :
Debora C Sihombing, Kartono, Solichin Zaki
Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro
Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang.