Model Matematika Dari Sistem Flutter Pada Sayap Pesawat Terbang

Model Matematika Dari Sistem Flutter Pada Sayap Pesawat Terbang

Disusun Oleh :Amiratus Sa'adah (1415105008)

Tadris Matematika B/VI       

IAIN Syekh Nurjati Cirebon

Ada beberapa faktor yang menyebabkan kecelakaan pesawat terjadi, yaitu  faktor manusia, faktor alam, dan juga faktor pesawat itu sendiri. Salah satu faktor alam yang dapat menyebabkan kecelakaan pesawat adalah angin. Faktor angin yang dapat membahayakan penerbangan dikenal dengan nama fenomena flutter.

Apakah fenomena flutter itu?

Flutter adalah salah satu fenomena aeroelastik dinamik yang sering terjadi pada sayap pesawat terbang. Pada saat fenomena ini timbul, terjadi interaksi timbal-balik antara gaya/momen aerodinamika unsteady dengan sifat inersia struktur yang fleksibel (elastik).  

Menurut Novi Andria (2011:107-114), flutter  merupakan fenomena ketidakstabilan dinamik yang diakibatkan oleh interaksi antara unsur inersia, redaman, dan fleksibilitas struktur dari suatu sistem, serta beban-beban aerodinamika yang bekerja pada struktur tersebut.

Apabila struktur dari sistem tersebut  terkena aliran udara yang besar maka struktur tersebut akan bergetar dengan amplitudo yang semakin meningkat. Getaran ini terus menerus terjadi sehingga struktur tersebut mengalami kegagalan.

Jika fenomena flutter ini timbul pada sayap pesawat terbang, maka pesawat terbang berada dalam bahaya dan dapat dipastikan akan jatuh (Fariduzzaman, 2002).

Sistem Flutter pada Persamaan Differensial

Beberapa penelitian telah dilakukan terhadap sistem flutter diantaranya adalah Choler dan Chamara (2004)  melakukan reduksi orde terhadap sistem flutter sehingga didapatkan 6 persamaan diferensial berorde 1 dan menggunakan teori manifold center untuk meneliti sistem.

Pada penelitian Kusni, M.(2006) persamaan gerak sistem  flutter dengan menggunakan persamaan Lagrange. Bentuk umum persamaan Lagrange adalah

Sistem flutter berbentuk system persamaan diferensial orde 2 dengan dua persamaan. Transformasi dilakukan untuk mereduksi orde sehingga diperoleh empat persamaan diferensial orde pertama. Analisis terhadap sistem flutter hasil transformasi dilakukan dengan melakukan reduksi dimensi sistem menggunakan teori Manifold Center.

Berdasarkan hasil analisis, perubahan nilai parameter menyebabkan perubahan kestabilan sistem di titik ekuilibrium tertentu dan terjadinya penambahan titik ekuilibrium dengan nilai parameter tertentu. Dengan menggunakan Teori Manifold Center, dapat ditunjukkan bahwa sistem flutter ini dapat dibentuk menjadi bentuk normal dari bifurkasi pitchfork. Hal ini menunjukkan bahwa pada sistem flutter terjadi bifurkasi pitchfork. 

Bifurkasi adalah perubahan keadaan dinamik atau munculnya potretfase yang tidak ekuivalen yang disebabkan oleh perubahan nilai parameter (Kutnetsov, 1998:57). Bifurkasi terjadi ketika suatu sistem rentan terhadap perubahan nilai parameter. Nilai parameter ini sebanding dengan besarnya gangguan yang diterima oleh sistem. Sistem yang sebelumnya stabil dapat berubah menjadi tidak stabil hanya karena sedikit gangguan. Sebaliknya, sistem yang sebelumnya tidak stabil dapat menjadi stabil hanya dengan sedikit perubahan nilai parameter.  

Referensi:

Ariyani, Andini Putri.2014.Skripsi:Sistem Flutter Pada Sayap Pesawat Terbang.Yogyakarta

Penerapan Persamaan Diferensial Terhadap Diabetes Mellitus Tipe 1

Penerapan Persamaan Diferensial Terhadap Diabetes Mellitus Tipe 1
Aji Nachlan
1415105006
IAIN Syekh Nurjati Cirebon
Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kejadian yang mungkin dalam pikirian seseorang tidak bisa dikaitkan dengan cabang ilmu matematika. Maka dari itu jangan pernah merasa takut pada materi matematika, karena sesungguhnya semua ilmu itu tidak membebankan seseorang, jikalau kita benar-benar ingin mempelajarinya.
Kenapa sih penerapan diferensial bisa dikaitkan dengan penyakit yang mungkin bisa menyebabkan seseorang bisa menghumbaskan nafas terakhirnya, karena setiap turunan dari penyakit yang kemudian sampai menderita penyakit diabetes mellitus.
Glukosa merupakan sumber energi untuk semua organ dan jaringan. Setiap individu memiliki konsentrasi glukosa darah yang optimal, apabila konsentrasinya tidak optimal akan menyebabkan kondisi patologis yang serius. Konsentrasi glukosa darah dipengaruhi dan dikendalikan oleh berbagai jenis hormon, diantaranya faktor dominan adalah hormon insulin. Hormon insulin disekresi oleh pankreas. Setelah karbohidrat yang masuk ke dalam tubuh akan berakibat pada pankreas untuk mensekresikan insulin dalam jumlah yang banyak. Glukosa dalam aliran darah juga secara langsung merangsang pankreas untuk mensekresikan insulin. Insulin kembali memfasilitasi penyerapan jaringan glukosa dengan melekatkan insulin itu sendiri ke dinding membran secara impermeabel, dan membuka pintu untuk glukosa untuk melewati mebran ke pusat sel, dimana glukosa dikonsumsi. Kekurangan glukosa dalam sel otak akan berakibat pada kerusakan fungsi sel otak tersebut.
Ambil G(t) dan H(t) adalah konsentrasi / kadar glukosa dalam darah dan kadar hormon insulin apada waktu t dan memenuhi
G’(t) = 𝑑𝐺/𝑑𝑡 = 𝑓1 (𝐺, 𝐻) + 𝐽(𝑡) (1)
H’(t) = 𝑑𝐻/𝑑𝑡 = 𝑓2 (𝐺, 𝐻) (2)
dengan kondisi awal G> 0, H> 0, G(0) = G0, H(0) = H
Dimana, J(t) adalah laju eksternal akibat kenaikan glukosa dalam darah, f1 dan f2adalah fungsi untuk perubahan G dan H.
Perilaku dari sistem persamaan diferensial non linear (1) dan (2) di sekitar titik kesetimbangan (G0,H0) dapat diketahui dengan melinearisasikan sistem non linear tersebut. Jenis kestabilan dari titik kesetimbangan tersebut ditentukan berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian dari sistem yang sudah berbentuk linear. Salah satu metode linearisasi adalah ekspansi deret Taylor di sekitar titik kesetimbangan dan diberi asumsi bahwa tubuh ingin mempertahankan homeostatis untuk konsentrasi glukosa dalam darah. Asumsi homeostatis berarti mempertimbangkan adanya gangguan lokal dari sistem dinamik yang jauh dari titik kesetimbangan.Dengan demikian dibuat variabel gangguan.
Ambil g = G – G0dan h = H – H0
Dengan demikian model yang terbentuk setelah dilinearisasikan adalah
𝑑𝑔/𝑑𝑡 = 𝜕𝑓1/𝜕𝐺 (𝐺0,𝐻0) 𝑔 + 𝜕𝑓1/𝜕𝐻 (𝐺0,𝐻0) h + 𝐽(𝑡) (3)
𝑑h/𝑑𝑡 = 𝜕𝑓2/𝜕𝐺 (𝐺0,𝐻0) 𝑔 + 𝜕𝑓2/𝜕𝐻 (𝐺0,𝐻0) h (4)
Selanjutnya menetapkan tanda untuk setiap konstanta yaitu (𝜕𝑓1/𝜕𝐺 (𝐺0,𝐻0) , 𝜕𝑓1/𝜕𝐻 (𝐺0,𝐻0) , 𝜕𝑓2/𝜕𝐻 (𝐺0,𝐻0) bernilai negatif dan 𝜕𝑓2/𝜕𝐺 (𝐺0,𝐻0) bernilai positif).
Sistem persamaan diferensial linear orde satu yang dapat dituliskan sebagai berikut
𝑑𝑔/𝑑𝑡 = −𝑎𝑔 − 𝑏h + (𝑡)
𝑑h/𝑑𝑡 = −𝑐h + 𝑑𝑔 (5)
dan harus dipenuhi bahwa a > 0, b > 0, c > 0, dan d > 0
Untuk penyelesaian secara analitik dari persamaan (5)dengan J(t)=0 dan karena hanya kadar/konsentrasi glukosa dalam darah saja yang akan dihitung, maka variabel kadar/konsentrasi hormon insulin h dihapus. Hal ini dapat ditunjukkan dengan mengeliminasi h dan 𝑑h/𝑑𝑡 dari persamaan (5) sehingga diperoleh
𝑑2𝑔/𝑑𝑡2 + (𝑎 + 𝑐) 𝑑𝑔/𝑑𝑡 +(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) 𝑔 = 𝑑𝐽(𝑡)/𝑑𝑡 + 𝑐𝐽(𝑡) (6)
Ambil α = (a + c) / 2
𝜔0 2 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑆(𝑡)= 𝑑𝐽(𝑡)/𝑑(𝑡) + 𝑐𝐽(𝑡)
Maka persamaan (6) menjadi
𝑑2𝑔/𝑑𝑡 2 + 2α 𝑑𝑔/𝑑𝑡 + 𝜔0 2𝑔 = 𝑆(𝑡)
Mengingat ruas kanan ternyata relatif kecil sekali, karena J(t) hanya timbul sebentar saat makanan masuk sehingga S(t) = 0 untuk semua t. Oleh karena itu persamaan menjadi bersifat homogen dengan menetapkan t0menjadi waktu bahwa glukosa telah sepenuhnya tertelan. dengan transformasi yang telah terjadi maka persamaan model menjadi
𝑑2𝑔/𝑑𝑡2 + 2α 𝑑𝑔/𝑑𝑡 + 𝜔02𝑔 = 0 (7)
Dari persamaan model (7) dengan persamaan karakteristik 𝑚2 + 2𝛼𝑚 + 𝜔0 2 = 0
Diperoleh solusi umum
𝑔 (𝑡)= 𝑒 −𝛼𝑡 𝐴1𝑒 −𝛾𝑡 + 𝐴2𝑒 𝛾𝑡 jika 𝛼 2 − 𝜔0 2 > 0(𝑜𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑚𝑝𝑒𝑑 𝑐𝑎𝑠𝑒) 𝑒 −𝛼𝑡 𝐴1 + 𝑡𝐴2 jika 𝛼 2 − 𝜔0 2 = 0(𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑙𝑦 𝑑𝑎𝑚𝑝𝑒𝑑 𝑐𝑎𝑠𝑒) 𝑒 −𝛼𝑡 𝐷 cos 𝛽𝑡 − 𝛿 jika 𝛼 2 − 𝜔0 2 < 0(𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑑𝑎𝑚𝑝𝑒𝑑 𝑐𝑎𝑠𝑒)
Dalam fisika, model yang sesuai adalah model Underdamped Case. Penderita diabetes khususnya akan mengalami kadar glukosa darah yang berubah-ubah, kadang kadar glukosa darah akan meningkat dan menurun jauh dari tingkat optimal. Dalam kata lain, g(t) kadar glukosa dalam darah akan berubah-ubah sewaktu-waktu sebelum titik kesetimbangan dicapai. Sedangkan pada Overdamped Case dan Critically Damped Case, g(t) hanya mengalami perubahan hanya sekali saja dan cepat mencapai titik kesetimbangan, dan tidak sesuai dengan fakta.
Berdasarkan pertimbangan tersebut, maka dipilih solusi respon Underdamped Case sebagai langkah yang tepat untuk mendeteksi penyakit diabetes mellitus tipe 1 dengan solusi g(t) = 𝑒 −𝛼𝑡 𝐷 cos 𝛽𝑡 − 𝛿 (G0, H0) adalah stabil asimtotik jika (G0, H0) stabil dan terdapat 𝛿0demikian sehingga setiap penyelesaian (g(t),h(t)) dari persamaan (1) dan (2) memenuhi bahwa 𝐺 0 − 𝐺0 2 + 𝐻 0 − 𝐻0 2 < 𝛿0ada dan memenuhi lim 𝑡→∞ 𝑔 𝑡 = 𝐺0 Dari solusi yang diperoleh g(t) = 𝑒 −𝛼𝑡 𝐷 cos𝛽𝑡 − 𝛿 , kemudian diubah koordinatnya kembali ke posisi awal atau kembali pada laju konsentrasi glukosa yang sebenarnya berubah menjadiG(t)=𝐺0 + 𝑒 −𝛼𝑡 𝐷 cos𝛽𝑡 − 𝛿 . Dimana 𝐺0adalah konsentrasi glukosa darah pasien sebelum glukosa yang ditelan dicerna, berarti kadar glukosa setimbang. Hal ini ditentukan dengan mengukur konsentrasi gula darah pasien segera setelah tiba dirumah sakit. Setelah itu, pasien diberikan sejumlah glukosa untuk diambil jumlah kadar glukosa darahnya setelah empat jam penambahan glukosa g1, g2, g3, g4, dan konsentrasi gula darah pada waktu t1, t2, t3, t4. Pengukuran ini akan digunakan untuk menghitung parameter D, 𝛼, 𝛿, 𝛽. 𝛼adalah mengukur kemampuan sistem untuk kembali ke titik setimbang setelah adanya gangguan (dengan pelepasan glukagon ke dalam darah ). 𝛽adalah mengukur berapa banyaknya respon terhadap gangguan (pelepasan insulin untuk menurunkan kadar glukosa dalam darah), dimana 𝛽 = (𝛼 2 − 𝜔0 2). Mengukur 𝛼 harus menjadi ukuran utama apakah seseorang itu adalah pasien diabetes, karena orang yang menderita diabetes tidak dapat kembali dalam kondisi setimbang atau normal dengan cepat.𝛿adalah konstanta yang mewakili dosis besar kadar glukosa yang diberikan di awal proses GTT setelah subjek telah berpuasa. G(tj) = 𝐺0 + 𝑒 −𝛼𝑡𝑗 𝐷 cos 𝛽𝑡𝑗 − 𝛿 j = 1, 2, 3, 4. Karena fungsi berosilasi dengan amplitudo yang menurun secara eksponensial. Pada menunjukkan bahwa grafik tidak periodik tetapi grafik tersebut melewati titik setimbang g = 0. Jika periode dipertimbangkan maka T sebagai waktu yang dibutuhkan untuk satu siklus lengkap sehingga perioda natural osilasi dibentuk dari 𝜔0 2𝑇 = 2 𝜋 dan 𝑇 = 2𝜋 𝜔0 2 , mengingat 𝜔0 2 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 maka 𝑇 = 2𝜋 𝑎𝑐+𝑏𝑑 Maka waktu perioda natural osilasi pada individu normal yaitu 𝑇 = 2𝜋 2.92 𝑥 0.208 + (4.34 𝑥 0.780) = 2𝜋 3.3852 = 2𝜋 1.8399130 = 3.41493 Karena perioda natural osilasinya kurang dari 4 jam, maka individu dapat dinyatakan normal. Waktu 4 jam adalah waktu dimana konsentrasi glukosa kembali normal setelah dilakukannya proses pemeriksaan Glucose Tolerance Test (GTT) begitu pasien tiba dirumah sakit. Kesimpulannya bahwa setiap penyakit yang masih dikatakan ringan jangan dianggap remeh, karena ketika menggap mudah akan menyebabkan penyakit-penyakit yang lain dan menimbulkan bahaya untuk sendiri. Dan jangan pernah takut untuk belajar matematika, karena matematika itu ilmu yang penuh dengan realitas.
Mencobalah untuk 'Membumikan Matematika'(Budi Manfaat)
Semoga bermanfaat.
Referensi :
Debora C Sihombing, Kartono, Solichin Zaki
Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro
Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang.

Penyelesaian Air Asin

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang tidak disukai oleh sebagian orang. Ada berbagai macam hal yang membuat mereka tidak menyukai matematika. Berbagai alasan tersebut antara lain : kesulitan menghitung, kesulitan menemukan rumus, tidak memahami materi dengan baik, dan berbagai macam alasan lainnya. Padahal dalam kenyataannya, matematika merupakan mata pelajaran yang sangat penting. Bahkan matematika selalu diterapkan dalam berbagai sektor dalam kehidupan sehari-hari. Matematika pun tak jarang berkaitan dengan mata pelajaran lainnya, seperti kimia, fisika, biologi, akutansi, dan sebagainya. Dalam hal ini, penulis akan menuliskan mengenai penerapan matematika (persamaan diferensial) dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kimia.

Persamaan diferensial linear orde satu muncul sebagai model matematik dalam soal-soal laju yang meliputi campuran. Campuran adalah suatu materi-materi yang disusun oleh beberapa suatu zat tunggal baik berupa unsur atau senyawa dengan komposisi yang tidak tetap. Dalam campuran sebuah sifat dari materi penyusunnya tidak dapat berubah karena gabungan beberapa zat tanpa melakukan reaksi kimia. Campuran homogen tersusun oleh dua bagian atau bisa lebih senyawa yang seluruh bagiannya mempunyai sifat dan susunan lama. Larutan teridiri atas yang pertama pelarut (solvent) dan yang kedua zat terlarut (solute). Pada suatu campuran homogen seluruh bagiannya serbasama sehingga komponen-komponen penyusunnya tidak dapat dibedakan. Larutan garam (Campuran garam dengan air) Penyelesaian Air Asin menggunakan persamaan diferensial linear orde satu dapat dipahami melalui contoh berikut.

CONTOH

Sebuah bejana besar berisi 81 galon air yang mengandung 20 pon larutan garam. Air asin yang mengandung 3 pon larutan garam tiap galon, mengalir ke dalam bejana dengan laju 5 galon tiap menit. Campuran yang dipertahankan merata dengan cara mengaduknya, mengalir ke luar dengan kecepatan 2 galon tiap menit. Berapa jumlah garam didalam bejana sesudah 37 menit?

Sumber

14, b. (2016, January 3). Pengertian Unsur, Senyawa, Campuran dan Beserta Contohnya. Retrieved April 2, 2018, from seputarilmu.com: http://www.seputarilmu.com/2016/01/pengertian-unsur-senyawa-campuran-dan.html

http://www.seputarilmu.com/2016/01/pengertian-unsur-senyawa-campuran-dan.html

Arus Lalu Lintas Dalam Persamaan Diferensial Parsial

Ahh..Matematika itu sulit!!!!

Mengapa demikian ?

 Matematika dianggap sebagai pelajaran yang sulit karena para pelajar sudah menjudge bahwa matematika itu sulit dan rumit karena selalu berhubungan dengan angka, rumus dan hitung-menghitung. Mereka pun tidak berniat untuk mempelajarinya, kecuali karena tuntutan materi. Pemikiran awal seseorang yang seperti itu jelas akan memengaruhi terhadap penguasaan matematika seseorang karena sebelumnya sudah ada rasa takut tidak bisa memahami pelajaran matematika dan malas. Mereka sudah terlebih dahulu tidak tertarik dengan matematika sebelum mencobanya.    Sebenarnya, matematika itu bukanlah suatu pelajaran yang menakutkan atau sulit, bahkan mengasyikan jika benar-benar mau berusaha dan berlatih. Dibutuhkan ketekunan dan rajin berlatih dari para pelajar untuk memahami berbagai macam materi yang ada di dalam matematika. Para pelajar pun tidak perlu memikirkan pendapat orang lain yang beranggapan bahwa matematika itu pelajaran yang sulit karena yang diperlukan untuk memahami matematika adalah banyak berlatih. Dengan belajar matematika juga, secara tidak langsung melatih seseorang untuk berfikir secara rasional dan lebih menggunakan logika.

Matematika juga mempunyai peran yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari. Matematika juga sangat berperan penting dalam bidang teknologi dan ilmu sains dan lain-lain

Jadi bagaimana sih contoh penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari ?

Persamaan Diferensial seringkali mucul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Pemodelan matematika juga telah berkembang seiring perkembangan matematika sebagai alat analisis berbagai masalah nyata. Pemodelan biasanya direpresentasikan dalam sebuah persamaan diferensial. Artikel ini akan membahas satu topik masalah nyata yang bersifat kompleks, yakni fenomena arus lalu lintas. Arus lalu-lintas merupakan salah satu fenomena yang dapat dideskripsikan melalui pemodelan matematika. Aktifitas transportasi darat dengan fasilitas jalan dan kendaraan lazim disebut lalulintas jalan, dan masalah yang umum dari lalulintas jalan adalah kecelakaan dan kemacetan. Kemacetan lalulintas biasanya meningkat sesuai dengan meningkatnya mobilitas manusia pengguna transportasi, terutama pada saat-saat sibuk. Kemacetan lalulintas terjadi karena berbagai sebab diantaranya disebabkan oleh kelemahan sistem pegaturan lampu lalulintas, banyaknya persimpangan jalan, banyaknya kendaraan yang turun ke jalan, musim, kondisi jalan, dan lain-lain. Lalulintas jalan dipengaruhi oleh banyak variabel, tetapi secara garis besar dalam tulisan ini dibatasi pada tiga variable, yaitu kecepatan dan medan kecepatan, kepadatan dan arus.Kecepatan adalah jarak tempuh yang dicapai dibagi dengan waktu tempuh, secara matematis ditulis : dt dx Kecepatan (v) = Medan kecepatan adalah kecepatan sebuah mobil disuatu titik (jalan) pada saat t, ditulis  atau . Misalkan dua buah mobil (1 dan 2) di jalan raya seperti pada gambar 1. Mobil 1 bergerak dengan kecepatan 45 mil/jam dan mobil 2 bergerak dengan kecepatan 30 mil/jam.

Kepadatan  jumlah mobil tiap panjang jalan. Jika diasumsikan panjang setiap mobil dan jarak antara mobil adalah sama. Misalkan panjang masing-masing mobil adalah L m, dengan jarak antara mobil d m. Maka jumlah tiap kilometer panjang jalan adalah 
Pengamatan kepadatan dilakukan dengan pendataan jumlah mobil tiap interval (jarak) tertentu. Penentuan interval hendaknya dilakukan tidak terlalu pendek atau panjang (+ 0,4km)Penentuan panjang pendeknya interval (waktu maupun jarak), harus memperhatikan hal-hal berikut :

Cukup panjang, sehingga terdapat mobil pada interval pengukuran (fluktuasi tidak terlalu tajam); Cukup pendek, sehingga variasi kepadatan maupun arus akan terlihat

Karena ρ adalah jumlah mobil tiap panjang jalan, sedangkan jarak yang ditempuh adalah v.t, maka jumlah mobil yang melewati pengamatan dalam waktu t jam adalah ρ.v.t. Jadi arus (q) = kepadatan ((ρ) x kecepatan (v) q(q,t) = ρ(x,t) v(x,t) Arus terbesar terjadi pada saat kepadatan maksimal dan bergerak dengan kecepatan maksimal. Tetapi hal ini tidak mungkin, sebab pada saat lalu lintas padat biasanya mobil susah bergerak bahkan berhenti sama sekali.

Referensi :

NN. (2014, 12 20). makalah murni aplikasi persamaan diferensial biasa pada arus lalu lintas. Retrieved 04 03, 2018, from Wordpress: https://uas20112049.wordpress.com/2014/12/20/makalah-murni-aplikasi-persamaan-diferensial-biasa-pada-arus-lalu-lintas

Sudradjat, T. A. (2010). Model Jalan Lalulintas Jalan Tol Dalam Persamaan Diferensial Parsial. Model Jalan Lalulintas Jalan Tol , 2-3.

Mengetahui Penyakit Kanker dengan Matematika

Disusun Oleh : Sri Pani Sumirat

Tadris Matematika B/VI       

IAIN Syekh Nurjati Cirebon

          Haloo sahabat pembaca, sungguh beruntung kita masih diberi kesempatan waktu untuk membaca, jadi jangan sia-siakan waktu yang kita miliki. Selamat membaca dan semoga bermanfaat....

Matematika dan Kedokteran?

       Ilmu kedokteran dan matematika memiliki keterikatan satu sama lain, ilmu matematika yang berkaitan dengan kedokteran adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu lain

Apakah Kanker Itu?

Semakin banyaknya orang yang mendambakan kepraktisan, mengakibatkan penyakit bergeser ke arah tumor dan kanker. Penyakit kanker merupakan suatu penyakit yang menyerang sel tubuh manusia. Penyebabnya adalah karsinogen yang bisa berupa virus, bahan kimia, radiasi atau sinar matahari. Karsinogen ini menyebabkan perubahan dalam bahan genetik sel sehingga sel kehilangan pengendalian dan mekanisme normalnya. Sel yang telah terkena karsinogen ini akan tumbuh dengan cepat dan tidak terkendali serta menjadi sangat ganas.

 Sel yang terkena karsinogen akan membentuk suatu benjolan yang akan terus berkembang pesat. Untuk menghilangkan sel kanker tersebut biasanya dilakukan pembedahan. Setelah dilakukan pembedahan biasanya dilanjutkan dengan penyinaran agar sel yang tersisa mengecil dan hilang.

       Ada dua macam tumor, yaitu tumor ganas (kanker) dan tumor jinak. Secara teori kanker adalah suatu penyakit yang disebabkan oleh pertumbuhan sel-sel jaringan tubuh yang tidak normal kemudian disebut sebagi sel kanker. Sel kanker akan mempertahankan mutasinya melalui proses refroduksi sel, meskipun terdapat usaha dari imun (kekebalan tubuh) yang bekerja untuk mengeliminasi sel kanker atau sel tumor.

Cara Penyembuhan Kanker

Kanker dapat menyerang semua anggota tubuh, kanker bisa menjangkit permukaan tubuh atau kanker juga tubuh di dalam tubuh. Langkah awal untuk mengatasi gelaja kanker adalah dengan terapi pengobata secara imunoterapi, kemoterapi,dan biokemoterapi.

Imunoterapi (terapi biologis) tujuannya adalah memperkuat kemapuan alami tubuh untuk memerangi kanker sendiri dengan meningkatkan efektifitas kekebalan tubuh.

Kemoterapi adalah tindakan terapi dengan menggunakan zat-zat kimia yang bertujuan menghambat pertumbuhan sel tumor. Pengobatan ini dilakukan dengan menyebarkan bahan kimia ke dalam darah yang mengarah pada pembagian sel.

Biokemoterapi penggabungan terapi secara imunoterapi dan kemoterapi yaitu imonoterapi bertujuan untuk mengaktifkan sel imun sedangkan kemoterapi bertujuan membunuh  sel kanker secar cepat.

Peran Matematika dalam Penyakit Kanker

Lantas dimanakah peran Matematika? Matematika berperan dalam menghitung volume kanker dan koordinat-koordinatnya dengan penerapan kalkulus, bisa dengan integral cakram, lipat 2 bahkan lipat 3. Karena umumnya sel kanker tidak mungkin berbentuk prisma, tabung, kerucut atau limas.

Sebelum dilakukannya penyinaran, dokter harus mengetahui besar sel kanker tersebut serta letaknya. Untuk mengetahui besarnya ukuran sel tersebut para ahli dosimetri menggunakan cabang ilmu kalkulus yaitu integral. Integral adalah cabang dari kalkulus yang dapat digunakan untuk menghitung luas ataupun volume.

Integral yang digunakan untuk menghitung volume adalah integral lipat 3, yaitu integral tunggal yang diintegralkan kembali. Bentuk sederhananya adalah

ʃʃʃ f (x,y,z) dx dy dz . untuk menentukan volume benda, yang digunakan adalah

bentuk ʃ_y1^y2ʃ_x1^x2ʃ_z1^z2 (x,y,z) dx dy dz. Ada dua metode integral yang digunakan yaitu integral cakram dan integral cincin.

Persamaan Diferensial  Matematika Dalam Penyakit Kanker

Penelitian yang dilakukan oleh Pilis, dkk (2009) dalam jurnal Mathematical Model Creations for Cancer Chemo-Immnunotherapy  dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial yaitu sebagai berikut:

          Pada model tersebut terdapat beberapa variabel yang akan dijelaskan sebagai berikut:

     1.  T(t) adalah populasi sel tumor pada t

    2.  N(t) adalah populasi sel pembunuh alami atau sel NK pada saat t.

    3.  L(t) adalah populasi sel CD8+T pada saat t.

    4.  C(t) adalah sirkulasi sel limfosit pada saat t

    5.  M(t) adalah konsentrasi obat kemoterapi pada saat t

    6.  I(t) adalah konsentrasi interleuikin pada saat t

    7.  A(t) adalah konsentrasi antibodi monoklon pada saat t.

Pada enam persamaan diatas, persamaan tersebut menurut Ross (1984) merupakan persaman diferensial karena persamaan tersebut mengandung turunan dari satu peubah tak bebas t. Selain itu menurut Boyce dan Diprima (2000:263) sistem persamaan diferensial di atas dikatakan tak linear karena sistem tersebut terdiri dari lebih dari satu persamaan tak linier yang saling terikat yaitu T(t), N(t), L(t), C(t),I(t) dan M(t).

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan bahwa hasil penurunan atau moifikasi model matematika pada terapi kanker menggunakan imunoterapi, kemoterapi, dak begit  menunjukan perubahan yang signifikan antara sel kanker dan sel imun yang memerangi.

Referensi

Arkham, H. P. (2012, Desember 1). Aplikasi Matematika dalam Bidang Kedokteran. Retrieved from Hannah Arkham Blog: https://hannapratiwiarkham.wordpress.com/2012/12/01/aplikasi-matematika-dalam-bidang-kedokteran/

Selviani, R. (2015, Juli 2015). Aplikasi Matematika Di Bidang Kedokteran. Retrieved from Rima Selviani Blog: http://rimaselviani.blogspot.co.id/2015/07/aplikasi-matematika-di-bidang-kedokteran.html

Wikipedia. (2017, Desember 11). NN. Retrieved from Wikipedia: https://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial

Zahro', S. K. (2014). Analisis Model Pada Pengobatan Kanker Kolorektum Menggunakan Imunoterapi dan Kemoterapi. Malang: UIN Maulana Malik Ibrohim.

Persamaan differensial matangnya Ayam panggang

Barusan ibukuu meletakkan ayam kodok yang baru saja dikeluarkan dari oven, di atas meja. Suhu ayam kodok tersebut pada saat dikeluarkan dari oven sekitar 200 derajat celsius. Kemudian dia berpesan, "Nak, nanti kalau sudah mencapai suhu ruang, tolong masukkan ayam kodok ini ke kulkas!"

Waduh, suhu ruang saat ini sekitar 27 derajat celsius! Berapa waktu yang dibutuhkan bagi ayam kodok untuk mencapai suhu 27 derajat Celsius??? Sepuluh menit berlalu dan sambil berfikir saya ambil thermometer untuk mengukur suhu ayam kodok sekarang, ternyata sudah turun menjadi 140 derajat Celcius! Wah cepet juga. 

Menantang, pakai rumus apa yah? Instinct saya mengatakan ini adalah permasalahan yang harus diselesaikan dengan differential equation ordo satu! Laju penurunan suhu mungkin tidak linear melainkan   exponentially decaying terhadap waktu. Dan suhu kamar akan menjadi terminal temperature (suhu yg dicapai pada saat t mendekati tak hingga) Haduh, malem-malem tambah kerjaan nih cari rumus.

Tapi kebetulan karena kemaren ada yang bertanya, "Apa aplikasi persamaan differential dalam kehidupan sehari-hari". Bentar yah, buka buku dulu. Maklum udah lama gak ngurusin yg begini. Besok aja deh, sudah malam!

Oke, kita lanjutkan.

Seperti yang kita bisa duga, turunnya temperature ayam kodok tidak linear! Kecepatan penurunan suhu/temperaturenya tergantung selisih suhu ayam kodok dengan suhu ruang. Makin tinggi selisihnya, makin cepat laju penurunannya. Oleh karena itu pada awalnya suhu ayam kodok turun begitu cepat dari 200 derajat menuju 140 derajat hanya dalam 10 menit. Tetapi, makin mendekati suhu ruang, maka selisih suhunya menjadi lebih kecil dan laju penurunannya makin berkurang.

Dalam matematika hal ini bisa dituliskan dalam persamaan differential sbb:

∂T∂t=k(T−To)$$\frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }t}=k(T-T_o)$$

di mana To$T_o$ adalah suhu ruang, yaitu 27 C. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan pemisahan sebagai berikut

∂T∂t=k(T−27)∂T(T−27)=k∂t$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\partial }T}{\mathrm{\partial }t}=k(T-27) \\ \frac{\mathrm{\partial }T}{(T-27)}=k\mathrm{\partial }t \end{gathered}$$

Dengan mengintegralkan, maka diperoleh

ln(T−27)=kt+c$$ln(T-27)=kt+c$$

dengan memasukan t = 0, T = 200 C, maka kita mendapatkan c = ln(200−27)$ln(200-27)$ = 5.15

dan pada t = 10 menit, T = 140, maka kita mendapatkan ln(140−27)=10k+c$ln(140-27)=10k+c$ dengan memasukkan nilai c di atas maka diperoleh k = -0.04

Sehingga persamaan kita mejadi

Ln(T−27)=kt+c$$Ln(T-27)=kt+c$$

Atau bisa kita tulis kan :

T(t)=27+e−0.04t+5.15$$T(t)=27+e^{-0.04t+5.15}$$

Dari persamaan itu jelas bahwa suhu 27 derajat celsius akan dicapai pada saat limit t mendekati tak hingga!

Waduh gimana ini, mosok harus menunggu waktu hingga tak hingga untuk mencapai suhu 27 derajat Celsius?

Hmm.. mungkin kita tidak harus saklek sampai 27 derajat kalee yah? Cukup mendekati 27 derajat saya fikir tidak apa-apa. Kalau gitu kita gambar grafiknya kemudian kita cari titik t yang mendekati 27 derajat.

Seperti ditunjukkan dalam gambar, pada t = 120 menit, maka suhu ayam kodok akan menjadi sekitar 28,4 derajat celsius. Cukuplah, 2 jam saja menunggu sampai suhu ayam kodok menjadi 28,4 derajat, siap masuk kulkas.

Penerapan rumus di atas tentu saja bukan cuma untuk ayam kodok, tetapi semua yang berkaitan dengan penurunan panas, termasuk cake! Syaratnya, ukur suhu awal ketika keluar oven. Kemudian ukur lagi 5 atau 10 menit kemudian. Baru deh bisa kita tentukan waktunya!

Silahkan mencoba 

Referensi : 

http://www.rustamaji.net/id/matematika/penerapan-persamaan-diferensial-dlm-kehidupan-sehari-hari